Сечение конуса плоскостью проходящей через его ось. Конус

Источник задания: Решение 4849. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 14. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Решение.

а) Взаимно перпендикулярные образующие дают прямой угол, следовательно, искомое сечение – прямоугольный треугольник ASB с гипотенузой AB и катетами AS и BS (см. рисунок).

б) Расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса O есть отрезок OK (см. рисунок). Сначала найдем длину отрезка AB из прямоугольного треугольника ABS. Отрезки AS=SB=13 и по теореме Пифагора имеем:

.

Теперь найдем длину ON из прямоугольного треугольника AON. Так как треугольник AOB равнобедренный, то высота ON также является медианой, следовательно, катет AN=AB:2, и ON равна:

.

Найдем длину отрезка SN из прямоугольного треугольника ASB. Можно заметить, что SN – это высота, проведенного из прямого угла, а отрезки AN и BN – это радиусы описанной окружности вокруг треугольника. Следовательно, SN – это тоже радиус и (см. рисунок).

Отрезок OK является высотой прямоугольного треугольника SON. Найдем его высоту из формулы площади

,

где - формула площади для прямоугольного треугольника, т.е.

Который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса , а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником - это уже пирамида .

Площадь боковой поверхности правильной n -угольной пирамиды, вписанной в конус:

S n =½P n l n ,

где P n - периметр основания пирамиды, а l n - апофема.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R 1 , R 2 и образующей l получаем такую формулу:

S=(R 1 +R 2)l .

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

• Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

• Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

S=πR(l+R),

где R — радиус основания, l — длина образующей.

• Объём кругового конуса , формула:

• Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:

где S 1 и S 2 — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом - это один из конических сечений.

Теорема (о сечении конуса). Если плоскость пересекает конус и параллельна плоскости его основания, то сечение конуса такой плоскостью подобно основанию конуса. Коэффициент их подобия равен отношению расстояния от вершины конуса до плоскости сечения к высоте конуса.

Напомним, что фигура F подобна фигуре F с коэффициентом , если можно так сопоставить их точки, что для любых точек X, Y фигуры F и соответствующих им точек XY фигуры F (рис. 8.5).

Пусть Р - вершина конуса К, фигура F - его основание, F - сечение конуса К плоскостью а, параллельной плоскости а основания F (рис. 8.6). Докажем, что фигуры F и F подобны. Для этого каждой точке сопоставим точку , в которой отрезок РХ пересекает плоскость а.

Проведем высоту РА конуса К и пусть А - точка, в которой высота РА пересекает плоскость а. Отрезок

РА является высотой конуса К, отсеченного плоскостью а.

Возьмем любые две точки X, Y основания F и пусть X, Y - соответствующие им точки F. Рассмотрим треугольники PXY и PXY. Они подобны, так как отрезки XY и XY параллельны (поскольку плоскость PXY пересекает параллельные плоскости а и а по параллельным прямым). Поэтому

1) Окружность (фиг.308,а), если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса;
2) Эллипс (фиг.308,б) - замкнутую кривую, если секущая плоскость наклонена к оси вращения и пересекает все образующие конуса;
3) Параболу (фиг.308,в) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей конуса;
4) Гиперболу (фиг.308,г) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (в частности, когда секущая плоскость параллельна оси конуса);
5) Прямые (фиг.308,д), если секущая плоскость проходит через вершину конуса.
В третьем и четвертом случаях секущая плоскость не пересекает всех образующих конуса, вследствие чего кривая сечения будет разомкнутая.
1. Сечение прямого кругового конуса фронтально- проектирующей плоскостью, проходящей через вершину конуса по двум образующим (фиг.309).

Фронтально - проектирующая плоскость δ пересекает поверхность конуса по образующим SA и SB и хорде АВ основания конуса.
I. Фронтальная проекция S 2 A 2 и S 2 B 2 образующих представляет собой отрезки" совпадающие с фронтальной проекцией δ 2 ; фронтальная проекция хорды АВ является точкой В 2 = А 2 .
Горизонтальная проекция сечения изобразится равнобедренным треугольником A 1 S 1 B 1 сторонами которого будут проекции S 1 A 1 и S 1 B 1 образующих и основанием - проекция А 1 В 1 хорды.
II. Построение изометрической проекции усеченного конуса осуществляем в следующем порядке: строим изометрическую проекцию неусеченного конуса; на его основании проводим хорду АВ , пользуясь размером k . Точки А" и В" соединяем прямыми с вершиной S" . Обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
фиг.310).

Горизонтальная плоскость уровня λ пересекает боковую поверхность конуса по окружности - параллели.
I. Фронтальная проекция фигуры сечения представляет собой отрезок, равный диаметру круга сечения D 1 совпадающий с фронтальной проекцией λ 2 . Горизонтальная проекция - круг.
II. Построение аксонометрической проекции (диметрии) усеченного конуса выполняется в следующем порядке.
II, а : на оси z" намечаем точку О" - центр основания и точку О" 1 - центр фигуры сечения на расстоянии, равном Н 1 . Приняв эти точки за центры, строим аксонометрические проекции основания и фигуры сечения - два овала, пользуясь размерами D и D 1 взятыми с горизонтальной проекции.
II, б. Проводим контурные образующие, обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
фиг. 311).

I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком A 2 В 2 , сливающимся с проекцией δ 2 и равным большой оси эллипса.
Горизонтальные проекции А 1 и В 1 концов отрезка лежат на горизонтальных проекциях контурных образующих, места которых определяются при помощи вертикальных линий связи.
Фронтальная проекция малой оси эллипса выявлена точкой С 2 = D 2 , находящейся на середине отрезка A 2 B 2 . Горизонтальные проекции C 1 и D 1 концов малой оси лежат на проекциях образующих S 1 K 1 и S 1 K , у которых расстояние между точками С 1 и D 1 равно малой оси эллипса. Точки А, В и С, D - концы осей, называются опорными (характерными).
I, б. Горизонтальные проекции промежуточных точек Е, F, N и ¯М определяются при помощи дополнительных образующих; так же как и проекции точек С, D .
I. в. Натуральная величина фигуры сечения - эллипс - найдена способом перемены плоскости проекций, причем достаточно найти только опорные точки А, В, С и D ; зная, что длина отрезка А 2 В 2 равна большой оси эллипса, а расстояние между точками C 1 D 1 - малой оси, можно построить эллипс (см.фиг.150).
II. Для получения развертки поверхности усеченного конуса строят развертку поверхности неусеченного конуса, затем на развертку боковой поверхности наносят параллели радиусами R, R 1 , R 2 , R 3 и R 4 и образующие, при помощи которых найдены опорные и промежуточные точки. Для этого делят участки дуг на горизонтальной проекции между точками К 2 1 и К 1 1 ; К 1 1 и К 0 1 ; К 0 1 и К 3 1 на более мелкие части.
Через точки пересечения образующих с соответствующими параллелями проводят кривую линию сечения. Пристроив к любой точке линии сечения, например к точке В , соответствующей точкой эллипс - сечение, получают развертку поверхности усеченного конуса.
III. При построении аксонометрической проекции (изометрия) можно придерживаться такого порядка:
III, а. Строят аксонометрическую проекцию основания конуса; в основании на оси х" отмечают точки А" 1 , II" 1 , О" 1 , IV" 1 ,В" 1 , пользуясь размерами, взятыми с горизонтальной проекции. На прямых, проведенных из точек А" 1 и B" 1 откладывают высоты этих точек.
Затем соединяют полученные точки А", В" прямой и на ней, путем проведения вертикальных прямых из точек II" 1 ,O" 1 , IV" 1 , получают точки II" 1 , О" 1 , IV" 1 .
Через точки II", О", IV" проводят прямые, параллельные оси y" и на них находят точки F" и Е", D" и С", N" и М" , пользуясь размерами, взятыми на горизонтальной проекции сечения.
Точки А", Е", С, M", В", N", D", F и А" соединяют последовательно кривой; проводят контурные образующие и обводят видимые и невидимые элементы.
.

I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком, сливающимся с проекцией δ 2
Горизонтальную проекцию сечения находят при помощи параллелей.
На проекциях боковой поверхности конуса наносят проекции параллелей (например, трех), причем меньшая должна проходить через точку D 2 пересечения проекции δ 2 проекцией контурной образующей.
I, б. Проекция δ 2 пересекает проекции основания и параллелей в точках A 2 , В 2 , С 2 , D 2 и С 1 2 , В 1 2 , А 1 2 .
Пользуясь вертикальными линиями связи, находят горизонтальные проекции A 1 , B 1 , C 1 , D 1 и С 1 1 , В 1 1 , A 1 1 этих точек.
Проведенная плавная кривая через точки А 1 В 1 С 1 D 1 С 1 1 , В 1 1 и А 1 1 явится горизонтальной проекцией линии пересечения, а прямая А 1 А 1 1 - проекцией линии сечения основания конуса.
I, в. Фигуру сечения конуса возможно найти или способом перемены плоскостей проекции, или путем построения параболы по данной вершине D 1 и точкам А 1 А 1 1 , положение которых определяется по комплексному чертежу.
II. Построение развертки боковой поверхности аналогично приведенному в предыдущем примере. Для получения полной развертки пристраивают к соответствующей точке дуги сектора, например к точке IV круг - основание конуса; проводят хорду A 1 0 A 0 , пользуясь размером k , и пристраивают к этой хорде сечение.
III, а. Для построения аксонометрической проекции (изометрии) сначала строят аксонометрическую проекцию основания конуса, проводят на нем хорду A 1 1 A 1 , пользуясь размером k , и отмечают вторичные проекции точек В" 1 , C" 1 , D" 1 , C" 1 1 , B" 1 1 используя размеры x 1 , x 2 , х 3 и y 1 , y 2 . На вертикальных линиях, проведенных из этих точек, откладывают высоты z 1 , z 2 и z 3 , получают аксонометрические проекции точек параболы. Затем соединяют последовательно точки А" 1 , В", С 1 ", D", О", В 1 " и А 1 1 " плавной кривой и получают аксонометрическую проекцию параболы.
III. б. Потом проводят контурную образующую и обводят видимые и невидимые элементы.

При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью могут образовываться следующие кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вид этих кривых зависит от угла наклона секущей плоскости к оси конической поверхности.

Ниже мы рассмотрим задачу, в которой требуется построить проекции и натуральную величину сечения конуса ω плоскостью α . Начальные данные представлены на рисунке ниже.

Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения её характерных точек. Они определяют границы сечения и его видимость по отношению к наблюдателю.

Через ось конической поверхности проведем вспомогательную плоскость γ, параллельную П 2 . Она пересекает конус ω по двум образующим, а плоскость α по фронтали f γ . Точки 1 и 2 пересечения f γ с образующими являются граничными точками. Они делят сечение на видимую и невидимую части.

Определим высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого через ось конуса перпендикулярно h 0 α введем дополнительную секущую плоскость β. Она пересекает коническую поверхность по образующим SL и SK, а плоскость α по прямой MN. Искомые точки 3 = SL ∩ MN и 4 = SK ∩ MN определяют большую ось эллипса. Его центр находится в точке O, которая делит отрезок 3–4 пополам.

Определение промежуточных точек и построение проекций эллипса

Чтобы построить проекции сечения наиболее точно, найдем ряд дополнительных точек. В случае с эллипсом целесообразно определить величину его малого диаметра. Для этого через центр O проводим вспомогательную горизонтальную плоскость δ. Она пересекает коническую поверхность по окружности диаметром AB, а плоскость α – по горизонтали h δ . Строим горизонтальные проекции окружности и прямой h δ . Их пересечение определяет точки 5" и 6" малого диаметра эллипса.

Для построения промежуточных точек 7 и 8 вводим вспомогательную горизонтальную плоскость ε. Проекции 7" и 8" определяются аналогично 5" и 6", как это показано на рисунке.

Соединив найденные точки плавной кривой, мы получили контур эллиптического сечения. На рисунке он обозначен красным цветом. Фронтальная проекция контура меняет свою видимость в точках 1 и 2, как это было отмечено выше.

Чтобы найти натуральную величину сечения, повернем плоскость α до совмещения её с горизонтальной плоскостью. В качестве оси вращения будем использовать след h 0 α . Его положение в процессе преобразований останется неизменным.

Построение начинается с определения направления фронтального следа f 1 α . На прямой f 0 α возьмем произвольную точку E и определим её проекцию E". Из E" опустим перпендикуляр к h 0 α . Пересечение данного перпендикуляра с окружностью радиусом X α E"" определяет положение точки E" 1 . Через X α и E" 1 проводим f 1 α .

Строим проекцию горизонтали h" 1 δ ∥ h 0 α , как это показано на рисунке. Точки O" 1 и 5" 1 , 6" 1 лежат на пересечении h" 1 δ с прямыми, проведенными перпендикулярно h 0 α из O" и 5", 6". Аналогично на горизонтали h" 1 ε находим 7" 1 и 8" 1 .

Строим проекции фронталей f" 1 γ ∥ f 1 α , f" 3 ∥ f 1 α и f" 4 ∥ f 1 α . Точки 1" 1 , 2" 1 , 3" 1 и 4" 1 лежат на пересечении этих фронталей с перпендикулярами, восстановленными к h 0α из 1", 2", 3" и 4" соответственно.